Тригонометрия Примеры

$\cot (x) \sec (x) = 2 \cot (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\cot (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = 2 \cot (x)$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \cot (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1 = 2 \cos (x)$

Этап 6

Перепишем уравнение в виде $2 \cos (x) = 1$ .

$2 \cos (x) = 1$

Этап 7

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 8

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 10

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 11

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 11.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 11.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 12

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$