Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

Этап 1

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (67.5)$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Представим $67.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

Этап 1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Этап 1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Этап 1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Этап 1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Этап 1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

Этап 1.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 33.75$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $33.75$ .

$x = 67.5$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (360 - 33.75)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 (360 - 33.75)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Вычтем $33.75$ из $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $2$ на $326.25$ .

$x = 652.5$

Этап 8

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$360 \cdot 2$

Этап 8.5

Умножим $360$ на $2$ .

$720$

Этап 9

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $720$ . Поэтому значения повторяются через каждые $720$ град. в обоих направлениях.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ , для любого целого $n$