Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{π}{2} + x) - \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 4

Переведем $\frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ в $\tan (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ в $\sec (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (\frac{π}{2} + x)$

Этап 8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0 \sec (\frac{π}{2} + x)$

Этап 9

Умножим $0$ на $\sec (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0$

Этап 10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$

Этап 11

Разделим каждый член $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (\frac{π}{2} + x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (\frac{π}{2} + x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.2.2

Разделим $\tan (\frac{π}{2} + x)$ на $1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = 1$

Этап 12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{π}{2} + x = \arctan (1)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π}{4}$

Этап 14

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2}$

Этап 14.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 14.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π - π \cdot 2}{4}$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{π - 2 π}{4}$

Этап 14.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$x = \frac{- π}{4}$

Этап 14.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π}{2} + x = π + \frac{π}{4}$

Этап 16

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 16.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 16.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 16.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 16.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{5 π}{4}$

Этап 16.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2}$

Этап 16.2.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 16.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{5 π - π \cdot 2}{4}$

Этап 16.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{5 π - 2 π}{4}$

Этап 16.2.5.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 17

Найдем период $\tan (\frac{π}{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 18

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 18.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 18.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 18.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 18.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 18.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 18.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 19

Период функции $\tan (\frac{π}{2} + x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 20

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$