Тригонометрия Примеры

$\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $\cos (20)$ .

$0.93969262 + 4 \sin^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из $0.93969262$ .

$- 1.06030737 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1.06030737$ к обеим частям уравнения.

$4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$ на $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1.06030737}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1.06030737}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1.06030737}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $1.06030737$ на $4$ .

$\sin^{2} (x) = 0.26507684$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0.26507684}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}, - \sqrt{0.26507684}$

Этап 3.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$

$\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\sqrt{0.26507684})$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\arcsin (\sqrt{0.26507684})$ .

$x = 30.98783966$

Этап 3.6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = 180 - 30.98783966$

Этап 3.6.4

Вычтем $30.98783966$ из $180$ .

$x = 149.01216033$

Этап 3.6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 30.98783966 + 360 n, 149.01216033 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \sqrt{0.26507684})$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \sqrt{0.26507684})$ .

$x = - 30.98783966$

Этап 3.7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 360 + 30.98783966 + 180$

Этап 3.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 30.98783966 + 180 °$ .

$x = 360 + 30.98783966 + 180 ° - 360 °$

Этап 3.7.4.2

Результирующий угол $210.98783966 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 30.98783966 + 180$ на полный оборот.

$x = 210.98783966 °$

Этап 3.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.7.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Добавим $360$ к $- 30.98783966$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30.98783966 + 360$

Этап 3.7.6.2

Вычтем $30.98783966$ из $360$ .

$329.01216033$

Этап 3.7.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 329.01216033$

Этап 3.7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 210.98783966 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$x = 30.98783966 + 360 n, 149.01216033 + 360 n, 210.98783966 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $30.98783966 + 360 n$ и $210.98783966 + 360 n$ в $30.98783966 + 180 n$ .

$x = 30.98783966 + 180 n, 149.01216033 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9.2

Объединим $149.01216033 + 360 n$ и $329.01216033 + 360 n$ в $149.01216033 + 180 n$ .

$x = 30.98783966 + 180 n, 149.01216033 + 180 n$ , для любого целого $n$