Тригонометрия Примеры

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Этап 1

Упростим $\cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (3 y)$ и $b = \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = (\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Этап 1.2

Развернем $(\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $\cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (3 y) (- \sin (3 y))$ и $\sin (3 y) \cos (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) - \cos (3 y) \sin (3 y) + \cos (3 y) \sin (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.1.2

Добавим $- \cos (3 y) \sin (3 y)$ и $\cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + 0 + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.1.3

Добавим $\cos (3 y) \cos (3 y)$ и $0$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\cos (3 y) \cos (3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Возведем $\cos (3 y)$ в степень $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.2.1.2

Возведем $\cos (3 y)$ в степень $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos^{1} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (6 y) = {\cos (3 y)}^{1 + 1} + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Этап 1.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin (3 y) \sin (3 y)$

Этап 1.3.2.3

Умножим $- \sin (3 y) \sin (3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Возведем $\sin (3 y)$ в степень $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin (3 y))$

Этап 1.3.2.3.2

Возведем $\sin (3 y)$ в степень $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin^{1} (3 y))$

Этап 1.3.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - {\sin (3 y)}^{1 + 1}$

Этап 1.3.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Этап 1.4

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (6 y) = \cos (2 (3 y))$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\cos (6 y) = \cos (6 y)$

Этап 2

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$6 y = 6 y$

Этап 3

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$6 y - 6 y = 0$

Этап 3.2

Вычтем $6 y$ из $6 y$ .

$0 = 0$

Этап 4

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $y$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$