Тригонометрия Примеры

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Этап 3.6.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Этап 3.6.3

Добавим $3 π$ и $4 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{12}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{12}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{12}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{12}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$x = \frac{7 π}{36}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $\frac{7 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.3

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 6.2.4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Этап 6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Этап 6.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Умножим $3$ на $7$ .

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

Этап 6.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

Этап 6.2.6.3

Добавим $21 π$ и $4 π$ .

$3 x = \frac{25 π}{12}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{25 π}{12}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{25 π}{12}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{25 π}{12}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$x = \frac{25 π}{36}$

Этап 7

Найдем период $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 8

Период функции $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$