Тригонометрия Примеры

$6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$6 u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$6 u^{2} + 5 (u) - 6 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$6 u^{2} + (- 4 + 9) u - 6 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 u^{2} - 4 u + 9 u - 6 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 u^{2} - 4 u) + 9 u - 6 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (3 u - 2) + 3 (3 u - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (2 u + 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \sin (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \sin (x) - 2$ к $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \sin (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (x) = 2$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 2$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Этап 3.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Этап 3.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Этап 3.2.6.3

Вычтем $0.72972765$ из $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $2 \sin (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 \sin (x) + 3$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 \sin (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{3}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$ верно.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , для любого целого $n$