Тригонометрия Примеры

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Этап 3

Найдем значение $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Этап 4.3

Добавим $25$ и $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Этап 6

Разделим каждый член $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ на $\sqrt{61}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ на $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{61}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (3 x + 0.87605805)$ на $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{61}}$ на $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{61}}$ на $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{61}$ в степень $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{61}$ в степень $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{61}}^{2}$ в виде $61$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{61}$ в виде $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $0.87605805$ из обеих частей уравнения.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Этап 9.2

Вычтем $0.87605805$ из $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Этап 10

Разделим каждый член $3 x = - 0.74766873$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $3 x = - 0.74766873$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Этап 10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим $- 0.74766873$ на $3$ .

$x = - 0.24922291$

Этап 11

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Этап 12

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вычтем $0.12838931$ из $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Этап 12.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $0.87605805$ из обеих частей уравнения.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Этап 12.2.2

Вычтем $0.87605805$ из $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Этап 12.3

Разделим каждый член $3 x = 2.13714528$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим каждый член $3 x = 2.13714528$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Этап 12.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Этап 12.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Этап 12.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Разделим $2.13714528$ на $3$ .

$x = 0.71238176$

Этап 13

Найдем период $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 14

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к $- 0.24922291$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Этап 14.2

Вычтем $0.24922291$ из $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Этап 14.3

Перечислим новые углы.

$x = 1.84517219$

Этап 15

Период функции $\sin (3 x + 0.87605805)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$