Тригонометрия Примеры

$5 \log (x + 1) + 10 = 10 \log (t + 1) + 5$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 10 + 5$

Этап 2

Добавим $- 10$ и $5$ .

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим $5 \log (x + 1)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Этап 3.1.1.2

Упростим $- 10 \log (t + 1)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - \log ({(t + 1)}^{10}) = - 5$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$

Этап 4

Перепишем $\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{- 5} = \frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(t + 1)}^{10}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель ${(t + 1)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{5} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{10^{5}} {(t + 1)}^{10}$

Этап 5.3.2.1.2

Возведем $10$ в степень $5$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{100000} {(t + 1)}^{10}$

Этап 5.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{100000}$ и ${(t + 1)}^{10}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$

Этап 5.4.2

Упростим $\sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем ${(t + 1)}^{10}$ в виде ${({(t + 1)}^{2})}^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{100000}}$

Этап 5.4.2.2

Перепишем $100000$ в виде $10^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем $\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}$ в виде ${(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{{(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}}$

Этап 5.4.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x + 1 = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10}$

Этап 5.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$

Этап 5.4.4

Упростим $\frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}$

Этап 5.4.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2} - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Перепишем ${(t + 1)}^{2}$ в виде $(t + 1) (t + 1)$ .

$x = \frac{(t + 1) (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.2

Развернем $(t + 1) (t + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{t (t + 1) + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$x = \frac{t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.3.1.2

Умножим $t$ на $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.3.1.3

Умножим $t$ на $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.3.2

Добавим $t$ и $t$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.4

Умножим $- 1$ на $10$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 10}{10}$

Этап 5.4.4.3.5

Вычтем $10$ из $1$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t - 9}{10}$