Тригонометрия Примеры

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) = 16 \tan (x)$

Этап 1

Вычтем $16 \tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x) = 0$

Этап 2

Разложим $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $9 \sin^{2} (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) - 16 \tan (x) = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- 16 \tan (x)$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x) - 16) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $9 \sin^{2} (x)$ в виде ${(3 \sin (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 16) = 0$

Этап 2.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 \sin (x)$ и $b = 4$ .

$\tan (x) ((3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4)) = 0$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$3 \sin (x) + 4 = 0$

$3 \sin (x) - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $3 \sin (x) + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 \sin (x) + 4$ к $0$ .

$3 \sin (x) + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 \sin (x) + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin (x) = - 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{4}{3}$

Этап 5.2.3

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{4}{3}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$