Тригонометрия Примеры

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $4 u^{2} - 2 u - 1$ на $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Этап 11.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Этап 11.4

Упростим $π - \frac{3 π}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 11.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 11.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Этап 11.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Перенесем $10$ влево от $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Этап 11.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Этап 11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Этап 12.3

$x = π + \frac{π}{10}$

Этап 12.4

Упростим $π + \frac{π}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Перенесем $10$ влево от $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Этап 12.4.3.2

Добавим $10 π$ и $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Этап 12.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{10}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Этап 12.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Этап 12.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Этап 12.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Этап 12.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.4.1

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Этап 12.6.4.2

Вычтем $π$ из $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Этап 12.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{19 π}{10}$

Этап 12.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$