Тригонометрия Примеры

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Подставим $u$ вместо $\sin (\frac{x}{2})$ для всех.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 10$ как $- 4$ плюс $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Этап 3.2.5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 3.2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 3.2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Этап 3.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Этап 3.2.6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Этап 3.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 3.2.8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 3.2.8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Этап 3.2.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 3.2.8.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 3.2.8.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 3.2.8.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Этап 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Этап 3.2.8.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Этап 3.2.8.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.9

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.9.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 3.2.9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 3.2.10

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ к $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Этап 4.2.5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Этап 4.2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Этап 4.2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Этап 4.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Умножим $2$ на $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Этап 4.2.7

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Этап 4.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Этап 4.2.8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Этап 4.2.8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Этап 4.2.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.2.1

Упростим $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.2.1.1

Вычтем $0.84806207$ из $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Этап 4.2.8.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Этап 4.2.9

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.9.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 4.2.9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 4.2.10

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , для любого целого $n$