Тригонометрия Примеры

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (2 x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (2 x)$ для всех.

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $7$ как $- 1$ плюс $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $8 \cos (2 x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $8 \cos (2 x) - 1$ к $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 \cos (2 x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $8 \cos (2 x) = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $8 \cos (2 x) = 1$ на $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $2 x = 1.44546849$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $2 x = 1.44546849$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Разделим $1.44546849$ на $2$ .

$x = 0.72273424$

Этап 3.2.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Этап 3.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

Этап 3.2.7.1.2

Вычтем $1.44546849$ из $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

Этап 3.2.7.2

Разделим каждый член $2 x = 4.83771681$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = 4.83771681$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Этап 3.2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Этап 3.2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

Этап 3.2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.1

Разделим $4.83771681$ на $2$ .

$x = 2.4188584$

Этап 3.2.8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (2 x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (2 x) + 1$ к $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (2 x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (2 x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$2 x = π$

Этап 4.2.4

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π - π$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$2 x = π$

Этап 4.2.6.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ верно.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$