Тригонометрия Примеры

$7 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 13 y^{2} - 6 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 7$ , $b = 6 \sqrt{3} y$ и $c = 13 y^{2} - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2

Пусть $u = 7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ . Подставим $u$ вместо $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $6 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило умножения к $6 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.3.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.2.4

Умножим $36$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{108 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $108 y^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $108 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (27 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - u)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 \cdot (13 y^{2} - 6)))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 (13 y^{2}) + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.1.2

Умножим $13$ на $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.1.3

Умножим $7$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} - 42))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.1.5

Умножим $91$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $91 y^{2}$ из $27 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 64 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $2$ из $- 64 y^{2} + 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 64 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 2 (21))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 32 y^{2}) + 2 (21)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.7

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{8 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.8

Перепишем $8 (- 32 y^{2} + 21)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2) (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y - \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y + \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$