Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{8}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Этап 3.2

Перепишем $\sqrt{\sqrt{2}}$ в виде $\sqrt[4]{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{8}}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 3.5.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 3.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.5.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 3.5.7.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{2}{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.3

Перепишем $2^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.3

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{4}$

Этап 3.7.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}, - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = 0.43393925$

Этап 6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.43393925$

Этап 6.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Этап 6.4.3

Вычтем $0.43393925$ из $3.14159265$ .

$x = 2.70765339$

Этап 6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = - 0.43393925$

Этап 7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$

Этап 7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 7.4.2

Результирующий угол $3.5755319$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.5755319$

Этап 7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.43393925$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.43393925 + 2 π$

Этап 7.6.2

Вычтем $0.43393925$ из $2 π$ .

$5.84924605$

Этап 7.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.84924605$

Этап 7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n, 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $0.43393925 + 2 π n$ и $3.5755319 + 2 π n$ в $0.43393925 + π n$ .

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $2.70765339 + 2 π n$ и $5.84924605 + 2 π n$ в $2.70765339 + π n$ .

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + π n$ , для любого целого $n$