Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ на $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 6.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.5.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 6.5.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 6.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 7.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 7.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 7.5.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 7.5.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 7.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 7.5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 7.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.5.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 7.5.3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 7.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Этап 7.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 7.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 7.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Этап 7.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Этап 7.7.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Этап 7.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{12}$

Этап 7.8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{π}{12} + π n$ и $\frac{7 π}{12} + π n$ в $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $\frac{5 π}{12} + π n$ и $\frac{11 π}{12} + π n$ в $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$