Тригонометрия Примеры

$9 \tan (5 x) + 1 = 10$

Этап 1

Перенесем все члены без $\tan (5 x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 \tan (5 x) = 10 - 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$9 \tan (5 x) = 9$

Этап 2

Разделим каждый член $9 \tan (5 x) = 9$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $9 \tan (5 x) = 9$ на $9$ .

$\frac{9 \tan (5 x)}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \tan (5 x)}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\tan (5 x)$ на $1$ .

$\tan (5 x) = \frac{9}{9}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $9$ на $9$ .

$\tan (5 x) = 1$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$5 x = \arctan (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$5 x = \frac{π}{4}$

Этап 5

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{4}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{4}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{4}}{5}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{4}}{5}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{5}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 5}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$x = \frac{π}{20}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$5 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$5 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$5 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$5 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$5 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{5}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{5}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{5}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot π$ .

$x = \frac{5 (π)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8

Найдем период $\tan (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $5$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 5 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{π}{5}$

Этап 9

Период функции $\tan (5 x)$ равен $\frac{π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{5}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{5}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{5}$ , для любого целого $n$