Тригонометрия Примеры

$f (2 x) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 2 x^{2} + 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$1, 2 x^{2} + 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 x^{2} + 1$

Этап 3

Каждый член в $2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ умножим на $2 x^{2} + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ на $2 x^{2} + 1$ .

$2 f x (2 x^{2} + 1) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 f x (2 x^{2}) + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 f (x^{2} x) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 f (x^{2} x^{1}) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 f x^{2 + 1} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 f x^{3} + 2 f x = 2 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$4 f x^{3} + 2 f x - 2 x = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $4 f x^{3} + 2 f x - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 f x^{3}$ .

$2 x (2 f x^{2}) + 2 f x - 2 x = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 f x$ .

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) - 2 x = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) + 2 x (- 1) = 0$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f)$ .

$2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1) = 0$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (2 f x^{2} + f - 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 f x^{2} + f - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 f x^{2} + f - 1$ к $0$ .

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 f x^{2} + f - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вычтем $f$ из обеих частей уравнения.

$2 f x^{2} - 1 = - f$

Этап 4.5.2.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 f x^{2} = - f + 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 f x^{2} = - f + 1$ на $2 f$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 f x^{2} = - f + 1$ на $2 f$ .

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}$

Этап 4.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$

Этап 4.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{f}{f}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} \cdot \frac{f}{f} + \frac{1}{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{f}{f}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{f}{2 f} + \frac{1}{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$ в виде $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ на $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}} \cdot \frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ на $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f} \sqrt{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt{2 f}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} \sqrt{2 f}}$

Этап 4.5.2.4.6.3

Возведем $\sqrt{2 f}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} {\sqrt{2 f}}^{1}}$

Этап 4.5.2.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.2.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{2 f}}^{2}$ в виде $2 f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 f}$ в виде ${(2 f)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{({(2 f)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{1}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{2 f}$

Этап 4.5.2.4.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$

Этап 4.5.2.4.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Этап 4.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Этап 4.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Этап 4.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 f x^{2} + f - 1) = 0$ верно.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$