Тригонометрия Примеры

$\tan (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (x)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sin (x) (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 1.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Разделим каждый член $\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ на $\tan (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ на $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Этап 2.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем это выражение.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.5.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$1 = \frac{- 2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.6.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin (x) \sqrt{3}$ .

$1 = \frac{\sin (x) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.6.3

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{\sin (x) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.6.4

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cos (x)$

Этап 2.3.7

Объединим $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$ и $\cos (x)$ .

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 = - \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Этап 3

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ в числитель.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (- 2 \sqrt{3} \cos (x)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.2

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (x))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (x))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- (- 1 \cos (x)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \cos (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.1.1.3.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) \cdot 1$

Этап 5.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 9

Упростим $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 9.3.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 10

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$