Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $\cos (\frac{π}{7})$ .

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Перенесем $0.90096886$ влево от $\sin (x)$ .

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.3

Найдем значение $\sin (\frac{π}{7})$ .

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $0.43388373$ .

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 3

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

Этап 4

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $0.43388373$ на $0.90096886$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $0.48157461$ .

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

Этап 4.3

Найдем значение $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ .

$θ = - \frac{π}{7}$

Этап 5

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $0.90096886$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $- 0.43388373$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

Этап 5.3

Добавим $0.8117449$ и $0.18825509$ .

$R = \sqrt{1}$

Этап 6

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Разделим каждый член $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\sqrt{1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $\sin (x - \frac{π}{7})$ на $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1}}$ на $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1}}$ на $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{1}$ в степень $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{1}$ в степень $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{1}}^{2}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1}$ в виде $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Этап 7.3.4

Найдем значение корня.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 7.3.5

Разделим $1$ на $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Этап 7.3.6

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

Этап 10

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{π}{7}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

Этап 10.2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Этап 10.3

Чтобы записать $\frac{π}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 10.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $28$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 10.4.2

Умножим $4$ на $7$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 10.4.3

Умножим $\frac{π}{7}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Этап 10.4.4

Умножим $7$ на $4$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Этап 10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Этап 10.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Перенесем $7$ влево от $π$ .

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

Этап 10.6.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

Этап 10.6.3

Добавим $7 π$ и $4 π$ .

$x = \frac{11 π}{28}$

Этап 11

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

Этап 12

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 12.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 12.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 12.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 12.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

Этап 12.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $\frac{π}{7}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Этап 12.2.3

Чтобы записать $\frac{π}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 12.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $28$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $4$ на $7$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $\frac{π}{7}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Этап 12.2.4.4

Умножим $7$ на $4$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Этап 12.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Этап 12.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Умножим $7$ на $3$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

Этап 12.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

Этап 12.2.6.3

Добавим $21 π$ и $4 π$ .

$x = \frac{25 π}{28}$

Этап 13

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14

Период функции $\sin (x - \frac{π}{7})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ , для любого целого $n$