Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 2

Приравняем $\sin (2 x + \sqrt{3})$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\sin (2 x + \sqrt{3})$ к $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

Этап 2.2

Решим $\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x + \sqrt{3} = \arcsin (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x + \sqrt{3} = 0$

Этап 2.2.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - \sqrt{3}$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $2 x = - \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = - \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x + \sqrt{3} = π - 0$

Этап 2.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$2 x + \sqrt{3} = π$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = π - \sqrt{3}$

Этап 2.2.6.3

Разделим каждый член $2 x = π - \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.1

Разделим каждый член $2 x = π - \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.7

Найдем период $\sin (2 x + \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Добавим $π$ к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Этап 2.2.8.2

Перечислим новые углы.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Этап 2.2.9

Период функции $\sin (2 x + \sqrt{3})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

$x = π - 0$

Этап 3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$ верно.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, π n$ , для любого целого $n$