Тригонометрия Примеры

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Этап 3.5.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{4}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π + π \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{4}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $3 π$ и $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\sin (x - \frac{π}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$