Тригонометрия Примеры

$\tan (x) (\tan (x) - 2) = 5$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$(u) ((u) - 2) = 5$

Этап 2

Упростим $u (u - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u \cdot u + u \cdot - 2 = 5$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + u \cdot - 2 = 5$

Этап 2.2.2

Перенесем $- 2$ влево от $u$ .

$u^{2} - 2 u = 5$

Этап 3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 2 u - 5 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Этап 8

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{6}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{6}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1 + \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = 3.44948974$

Этап 10.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (3.44948974)$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Найдем значение $\arctan (3.44948974)$ .

$x = 1.28863304$

Этап 10.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.28863304$

Этап 10.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.28863304$

Этап 10.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.28863304$

Этап 10.5.3

Добавим $3.14159265$ и $1.28863304$ .

$x = 4.43022569$

Этап 10.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.28863304 + π n, 4.43022569 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1 - \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = - 1.44948974$

Этап 11.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1.44948974)$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Найдем значение $\arctan (- 1.44948974)$ .

$x = - 0.96688248$

Этап 11.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.96688248 - (3.14159265)$

Этап 11.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Добавим $2 π$ к $- 0.96688248 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.96688248 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 11.5.2

Результирующий угол $2.17471016$ является положительным и отличается от $- 0.96688248 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.17471016$

Этап 11.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Добавим $π$ к $- 0.96688248$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.96688248 + π$

Этап 11.7.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.96688248$

Этап 11.7.3

Вычтем $0.96688248$ из $3.14159265$ .

$2.17471016$

Этап 11.7.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.17471016$

Этап 11.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.17471016 + π n, 2.17471016 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 1.28863304 + π n, 4.43022569 + π n, 2.17471016 + π n, 2.17471016 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $1.28863304 + π n$ и $4.43022569 + π n$ в $1.28863304 + π n$ .

$x = 1.28863304 + π n, 2.17471016 + π n, 2.17471016 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2

Объединим $2.17471016 + π n$ и $2.17471016 + π n$ в $2.17471016 + π n$ .

$x = 1.28863304 + π n, 2.17471016 + π n$ , для любого целого $n$