Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 + (- \frac{3}{5})}$

Этап 1

Упростим $\frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5 - 3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.3

Вычтем $3$ из $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.4

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.1.7.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5 - 3}{5}}$

Этап 1.2.3

Вычтем $3$ из $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{2}{5}}$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (\frac{x}{2}) = \sqrt{10} \frac{1}{2}$

Этап 1.5

Объединим $\sqrt{10}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} = \arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 1.00685368$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 1.00685368$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $1.00685368$ .

$x = 2.01370737$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) + 1.00685368$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 ((3.14159265) + 1.00685368)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Добавим $3.14159265$ и $1.00685368$ .

$x = 2 \cdot 4.14844633$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $2$ на $4.14844633$ .

$x = 8.29689267$

Этап 8

Найдем период $\tan (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\tan (\frac{x}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.01370737 + 2 π n, 8.29689267 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим $2.01370737 + 2 π n$ и $8.29689267 + 2 π n$ в $2.01370737 + 2 π n$ .

$x = 2.01370737 + 2 π n$ , для любого целого $n$