Введите задачу...
Тригонометрия Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.2
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 1.5.1
Умножим на .
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.7
Упростим числитель.
Этап 1.7.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.7.2
Умножим на .
Этап 2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 3
Этап 3.1
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Этап 3.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.2
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.
Этап 3.3
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 3.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.2.1
Упростим .
Этап 3.3.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 3.3.2.1.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.2.2
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.3
Упростим.
Этап 3.3.2.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.5
Умножим на .
Этап 3.3.3
Упростим правую часть.
Этап 3.3.3.1
Упростим .
Этап 3.3.3.1.1
Перепишем в виде .
Этап 3.3.3.1.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 3.3.3.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.3.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.3.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.3.1.3
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 3.3.3.1.3.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.3.1.3.1.1
Умножим .
Этап 3.3.3.1.3.1.1.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.1.2
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.1.4
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.1.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.3.1.3.1.1.6
Добавим и .
Этап 3.3.3.1.3.1.2
Умножим .
Этап 3.3.3.1.3.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.2.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.2.4
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.2.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.3.1.3.1.2.6
Добавим и .
Этап 3.3.3.1.3.1.3
Умножим .
Этап 3.3.3.1.3.1.3.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.3.2
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.3.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.3.4
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.3.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.3.1.3.1.3.6
Добавим и .
Этап 3.3.3.1.3.1.4
Умножим .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.2
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.4
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.3.1.3.1.4.6
Добавим и .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.7
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.8
Возведем в степень .
Этап 3.3.3.1.3.1.4.9
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.3.1.3.1.4.10
Добавим и .
Этап 3.3.3.1.3.2
Добавим и .
Этап 3.4
Решим относительно .
Этап 3.4.1
Перенесем все выражения в левую часть уравнения.
Этап 3.4.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.1.3
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.2
Упростим .
Этап 3.4.2.1
Перенесем .
Этап 3.4.2.2
Применим формулу двойного угла для косинуса.
Этап 3.4.2.3
Сократим общий множитель .
Этап 3.4.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.4.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.4.2.4
Умножим на .
Этап 3.4.2.5
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.2.6
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.2.7
Перепишем в виде .
Этап 3.4.2.8
Применим формулу Пифагора.
Этап 3.4.2.9
Изменим порядок множителей в .
Этап 3.4.2.10
Вычтем из .
Этап 3.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.3.1
Изменим порядок выражения.
Этап 3.4.3.1.1
Перенесем .
Этап 3.4.3.1.2
Перенесем .
Этап 3.4.3.1.3
Изменим порядок и .
Этап 3.4.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.3.4
Вынесем множитель из .
Этап 3.4.4
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3.4.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 3.4.5.1
Приравняем к .
Этап 3.4.5.2
Решим относительно .
Этап 3.4.5.2.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 3.4.5.2.2
Упростим правую часть.
Этап 3.4.5.2.2.1
Точное значение : .
Этап 3.4.5.2.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 3.4.5.2.4
Упростим .
Этап 3.4.5.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.4.5.2.4.2
Объединим дроби.
Этап 3.4.5.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 3.4.5.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.4.5.2.4.3
Упростим числитель.
Этап 3.4.5.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 3.4.5.2.4.3.2
Вычтем из .
Этап 3.4.5.2.5
Найдем период .
Этап 3.4.5.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.4.5.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.4.5.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.4.5.2.5.4
Разделим на .
Этап 3.4.5.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3.4.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 3.4.6.1
Приравняем к .
Этап 3.4.6.2
Решим относительно .
Этап 3.4.6.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 3.4.6.2.2
Упростим .
Этап 3.4.6.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 3.4.6.2.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 3.4.6.2.2.3
Плюс или минус равно .
Этап 3.4.6.2.3
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 3.4.6.2.4
Упростим правую часть.
Этап 3.4.6.2.4.1
Точное значение : .
Этап 3.4.6.2.5
Приравняем числитель к нулю.
Этап 3.4.6.2.6
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 3.4.6.2.7
Решим относительно .
Этап 3.4.6.2.7.1
Умножим обе части уравнения на .
Этап 3.4.6.2.7.2
Упростим обе части уравнения.
Этап 3.4.6.2.7.2.1
Упростим левую часть.
Этап 3.4.6.2.7.2.1.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.4.6.2.7.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.4.6.2.7.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.4.6.2.7.2.2
Упростим правую часть.
Этап 3.4.6.2.7.2.2.1
Вычтем из .
Этап 3.4.6.2.8
Найдем период .
Этап 3.4.6.2.8.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.4.6.2.8.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.4.6.2.8.3
приблизительно равно . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.
Этап 3.4.6.2.8.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 3.4.6.2.8.5
Умножим на .
Этап 3.4.6.2.9
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3.4.7
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 3.4.7.1
Приравняем к .
Этап 3.4.7.2
Решим относительно .
Этап 3.4.7.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.7.2.2
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 3.4.7.2.3
Упростим правую часть.
Этап 3.4.7.2.3.1
Точное значение : .
Этап 3.4.7.2.4
Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 3.4.7.2.5
Вычтем из .
Этап 3.4.7.2.6
Найдем период .
Этап 3.4.7.2.6.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 3.4.7.2.6.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 3.4.7.2.6.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 3.4.7.2.6.4
Разделим на .
Этап 3.4.7.2.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3.4.8
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 4
Этап 4.1
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 4.2
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 4.3
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 4.4
Объединим ответы.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Проверим каждое решение, подставив его в и решив.
, для любого целого