Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

Этап 1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ к обеим частям уравнения.

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Этап 1.2

Выразим $\tan (\frac{a}{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Этап 1.4

Чтобы записать $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ на $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ на $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Этап 1.7.2

Умножим $\sin (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Этап 2

Приравняем числитель к нулю.

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\sin (\frac{a}{2})$ из обеих частей уравнения.

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

Этап 3.1.2

Вычтем $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - \cos (a)}$ в виде ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим.

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ в виде $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.2

Развернем $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.1

Умножим $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.1.2

Умножим $\sin (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.1.3

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.1.4

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2

Умножим $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $\sin (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2.3

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2.4

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3

Умножим $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3.2

Умножим $\sin (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3.3

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3.4

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sin (\frac{a}{2})$ на $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sin (\frac{a}{2})$ в степень $1$ .

Этап 3.3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.7

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.8

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

Этап 3.3.3.1.3.1.4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.3.1.3.1.4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Этап 3.3.3.1.3.2

Добавим $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ и $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Этап 3.4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вычтем $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Этап 3.4.1.2

Вычтем $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Этап 3.4.1.3

Вычтем $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим на $1$ .

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $\cos (a)$ из $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.6

Вынесем множитель $\cos (a)$ из $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ .

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.7

Перепишем $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ в виде $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.8

Применим формулу Пифагора.

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.9

Изменим порядок множителей в $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.2.10

Вычтем $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ из $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ из $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перенесем $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Этап 3.4.3.1.2

Перенесем $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3.4.3.1.3

Изменим порядок $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ и $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ из $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ из $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

Этап 3.4.3.4

Вынесем множитель $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ из $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

Этап 3.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

Этап 3.4.5

Приравняем $\cos (a)$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Приравняем $\cos (a)$ к $0$ .

$\cos (a) = 0$

Этап 3.4.5.2

Решим $\cos (a) = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из косинуса.

$a = \arccos (0)$

Этап 3.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$a = \frac{π}{2}$

Этап 3.4.5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.4.5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.4.5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.4.5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.4.5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$a = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.4.5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$a = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.4.5.2.5

Найдем период $\cos (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.5.2.6

Период функции $\cos (a)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4.6

Приравняем $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Приравняем $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ к $0$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3.4.6.2

Решим $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

Этап 3.4.6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

Этап 3.4.6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из синуса.

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

Этап 3.4.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{a}{2} = 0$

Этап 3.4.6.2.5

Приравняем числитель к нулю.

$a = 0$

Этап 3.4.6.2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{a}{2} = π - 0$

Этап 3.4.6.2.7

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 3.4.6.2.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 3.4.6.2.7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a = 2 (π - 0)$

Этап 3.4.6.2.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.7.2.2.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$a = 2 π$

Этап 3.4.6.2.8

Найдем период $\sin (\frac{a}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.6.2.8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 3.4.6.2.8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 3.4.6.2.8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 3.4.6.2.9

Период функции $\sin (\frac{a}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4.7

Приравняем $\cos (a) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Приравняем $\cos (a) + 1$ к $0$ .

$\cos (a) + 1 = 0$

Этап 3.4.7.2

Решим $\cos (a) + 1 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (a) = - 1$

Этап 3.4.7.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из косинуса.

$a = \arccos (- 1)$

Этап 3.4.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$a = π$

Этап 3.4.7.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$a = 2 π - π$

Этап 3.4.7.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$a = π$

Этап 3.4.7.2.6

Найдем период $\cos (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.7.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.7.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.7.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.7.2.7

Период функции $\cos (a)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$a = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ верно.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2

Объединим $4 π n$ и $2 π + 4 π n$ в $2 π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.3

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.4

Объединим ответы.

$a = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 5

Проверим каждое решение, подставив его в $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ и решив.

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$