Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Этап 1

Решим $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Этап 1.2

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (2 x) > 1$

Этап 1.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x > \arctan (1)$

Этап 1.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Этап 1.6

Разделим каждый член $2 x > \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Разделим каждый член $2 x > \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.6.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 1.6.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Этап 1.7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 1.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.8.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 1.8.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.8.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 1.8.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 1.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 1.8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 1.8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.8.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 1.8.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Этап 1.9

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.9.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 1.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 1.10

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

Этап 1.13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 1.13.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Этап 1.13.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $- 0.41614683$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.13.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Истина

Этап 1.14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2

Используем неравенство $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ для построения формы записи множества.

${x | \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}}$

Этап 3