Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ .

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Этап 2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Этап 2.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

Этап 2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y, 2 x$

Этап 3.2

Так как $2 y, 2 x$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.5

НОК $2, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot x$

Этап 3.9

Умножим $y$ на $x$ .

$y x$

Этап 3.10

НОК $2 y, 2 x$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y x$

Этап 4

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ умножим на $2 y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ на $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Этап 4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} x = y$

Этап 5

Перепишем уравнение в виде $y = \sqrt{3} x$ .

$y = \sqrt{3} x$

Этап 6

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{3} y$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3} y = x$ .

$\sqrt{3} y = x$

Этап 7.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} y = x$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} y = x$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 7.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 7.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 7.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 9.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Этап 9.2.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Этап 9.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Этап 9.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Этап 9.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Этап 9.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 9.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.4.1.5

Найдем экспоненту.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

Этап 9.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 9.3.2

Найдем значение $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

Этап 9.3.3

Умножим $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Этап 9.3.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Этап 9.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 9.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Этап 9.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.4.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

Этап 9.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$