Тригонометрия Примеры

Найти обратный элемент (sec(x)+tan(x)csc(x))/(tan(x))
Этап 1
Поменяем переменные местами.
Этап 2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.1.1
Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.1.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.2.1.1.1.2
Сократим общие множители.
Этап 2.2.1.1.2
Переведем в .
Этап 2.2.1.1.3
Добавим и .
Этап 2.2.1.2
Разделим дроби.
Этап 2.2.1.3
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.2.1.4
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.2.1.5
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 2.2.1.6
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1.6.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.1.6.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.1.7
Переведем в .
Этап 2.2.1.8
Разделим на .
Этап 2.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.4
Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь из-под знака косеканса.
Этап 3
Replace with to show the final answer.
Этап 4
Проверим, является ли обратной к .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий и .
Этап 4.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Представим результирующую суперпозицию функций.
Этап 4.2.2
Найдем значение , подставив значение в .
Этап 4.2.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.2.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.4.1
Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.4.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 4.2.4.1.2
Сократим общие множители.
Этап 4.2.4.2
Переведем в .
Этап 4.2.4.3
Добавим и .
Этап 4.2.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.5.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.5.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.6
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 4.2.7
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 4.2.8
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 4.2.9
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.9.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.9.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.10
Переведем в .
Этап 4.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Представим результирующую суперпозицию функций.
Этап 4.3.2
Найдем значение , подставив значение в .
Этап 4.3.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 4.3.3.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3.3.3
Объединим.
Этап 4.3.3.4
Умножим на .
Этап 4.3.3.5
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.5.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.5.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.3.3.5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.5.3.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.3.3.5.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.5.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.3.5.3.4
Объединим и .
Этап 4.3.3.5.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.5.3.6
Умножим на .
Этап 4.3.3.5.4
Умножим на .
Этап 4.3.3.5.5
Умножим на .
Этап 4.3.3.5.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.5.6.1
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.3.5.6.2
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.3.5.6.3
Перегруппируем дробь .
Этап 4.3.3.5.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 4.3.3.5.8
Объединим и .
Этап 4.3.3.6
Объединим и .
Этап 4.3.3.7
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.7.1
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.7.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.3.7.2
Разделим на .
Этап 4.3.3.8
Умножим на .
Этап 4.3.3.9
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.9.1
Умножим на .
Этап 4.3.3.9.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.3.9.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.3.9.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.3.9.5
Добавим и .
Этап 4.3.3.9.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.9.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.3.9.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.3.9.6.3
Объединим и .
Этап 4.3.3.9.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.9.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.9.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.3.9.6.5
Упростим.
Этап 4.3.3.10
Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.10.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 4.3.3.10.2
Сократим общие множители.
Этап 4.3.3.11
Переведем в .
Этап 4.3.3.12
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 4.3.3.13
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3.3.14
Объединим.
Этап 4.3.3.15
Умножим на .
Этап 4.3.3.16
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.16.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.16.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.3.3.16.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.16.3.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.3.3.16.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.16.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.3.16.3.4
Объединим и .
Этап 4.3.3.16.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.16.3.6
Умножим на .
Этап 4.3.3.16.4
Умножим на .
Этап 4.3.3.16.5
Умножим на .
Этап 4.3.3.16.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.16.6.1
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.3.16.6.2
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.3.16.6.3
Перегруппируем дробь .
Этап 4.3.3.16.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 4.3.3.16.8
Объединим и .
Этап 4.3.3.17
Объединим и .
Этап 4.3.3.18
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.18.1
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.18.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.18.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.3.18.2
Разделим на .
Этап 4.3.3.19
Умножим на .
Этап 4.3.3.20
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.20.1
Умножим на .
Этап 4.3.3.20.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.3.20.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.3.20.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.3.20.5
Добавим и .
Этап 4.3.3.20.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.20.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.3.20.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.3.20.6.3
Объединим и .
Этап 4.3.3.20.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.20.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.20.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.3.20.6.5
Упростим.
Этап 4.3.3.21
Добавим и .
Этап 4.3.4
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 4.3.4.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.2.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.4.2.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.3.4.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.2.3.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.3.4.2.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.4.2.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.4.2.3.4
Объединим и .
Этап 4.3.4.2.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.4.2.3.6
Умножим на .
Этап 4.3.4.2.4
Умножим на .
Этап 4.3.4.2.5
Умножим на .
Этап 4.3.4.2.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.2.6.1
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.4.2.6.2
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.4.2.6.3
Перегруппируем дробь .
Этап 4.3.4.2.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 4.3.4.2.8
Объединим и .
Этап 4.3.4.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3.4.4
Умножим на .
Этап 4.3.4.5
Умножим на .
Этап 4.3.4.6
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.6.1
Умножим на .
Этап 4.3.4.6.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.4.6.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.4.6.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.4.6.5
Добавим и .
Этап 4.3.4.6.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.6.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.4.6.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.4.6.6.3
Объединим и .
Этап 4.3.4.6.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.4.6.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.4.6.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.4.6.6.5
Упростим.
Этап 4.3.5
Объединим и .
Этап 4.3.6
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.3.7
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.7.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.7.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.8
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.8.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.8.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.4
Так как и , то  — обратная к .