Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Этап 2.2.1.2

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Этап 2.2.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

Этап 2.2.1.4

Переведем $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в $\tan (y)$ .

$\tan (y) = x$

Этап 2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (x)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ обратной к $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

Этап 4.2.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Этап 4.2.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Этап 4.2.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.2.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arctan (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

Этап 4.3.3

Выразим $\csc (\arctan (x))$ через синусы и косинусы.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Этап 4.3.4

Выразим $\sec (\arctan (x))$ через синусы и косинусы.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Этап 4.3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

Этап 4.3.6

Переведем $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ в $\tan (\arctan (x))$ .

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Этап 4.3.7

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ — обратная к $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$