Тригонометрия Примеры

$f^{- 1} (81)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$f = y^{- 1} (81)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{- 1} \cdot 81 = f$ .

$y^{- 1} \cdot 81 = f$

Этап 2.2

Разделим каждый член $y^{- 1} \cdot 81 = f$ на $81$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $y^{- 1} \cdot 81 = f$ на $81$ .

$\frac{y^{- 1} \cdot 81}{81} = \frac{f}{81}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $y^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{81}{81 y} = \frac{f}{81}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{81 y} = \frac{f}{81}$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 81$

Этап 2.3.2

Since $y, 81$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 81$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Этап 2.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.3.5

Простыми множителями $81$ являются $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

У $81$ есть множители: $3$ и $27$ .

$3 \cdot 27$

Этап 2.3.5.2

У $27$ есть множители: $3$ и $9$ .

$3 \cdot 3 \cdot 9$

Этап 2.3.5.3

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Этап 2.3.6

Умножим $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 \cdot 3 \cdot 3$

Этап 2.3.6.2

Умножим $9$ на $3$ .

$27 \cdot 3$

Этап 2.3.6.3

Умножим $27$ на $3$ .

$81$

Этап 2.3.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.3.8

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 2.3.9

НОК $y, 81$ представляет собой произведение числовой части $81$ и переменной части.

$81 y$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$ умножим на $81 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$ на $81 y$ .

$\frac{1}{y} (81 y) = \frac{f}{81} (81 y)$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 \frac{1}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Этап 2.4.2.2

Объединим $81$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{81}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$81 = \frac{f}{81} (81 y)$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 = 81 \frac{f}{81} y$

Этап 2.4.3.2

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$81 = 81 \frac{f}{81} y$

Этап 2.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$81 = f y$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $f y = 81$ .

$f y = 81$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $f y = 81$ на $f$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $f y = 81$ на $f$ .

$\frac{f y}{f} = \frac{81}{f}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f y}{f} = \frac{81}{f}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{81}{f}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$ обратной к $f (f) = f^{- 1} (81)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (f))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (f^{- 1} (81))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81}{f^{- 1} (81)}$

Этап 4.2.3

Перенесем $f^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81 f}{81}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81 f}{81}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = f$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (f))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{81}{f})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{81}{f}) = {(\frac{81}{f})}^{- 1} (81)$

Этап 4.3.3

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{81}{f}) = \frac{f}{81} \cdot 81$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{81}{f}) = \frac{f}{81} \cdot 81$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{81}{f}) = f$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ , то $f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$ — обратная к $f (f) = f^{- 1} (81)$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$