Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x - 1)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \csc^{2} (y - 1)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\csc^{2} (y - 1) = x$ .

$\csc^{2} (y - 1) = x$

Этап 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

Этап 2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

Этап 2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Этап 2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Этап 2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $y$ .

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Этап 2.5

Решим относительно $y$ в $\csc (y - 1) = \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака косеканса.

$y - 1 = arccsc (\sqrt{x})$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

Этап 2.6

Решим относительно $y$ в $\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака косеканса.

$y - 1 = arccsc (- \sqrt{x})$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Этап 2.7

Перечислим все решения.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ обратной к $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ и $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $arccsc (\sqrt{x}) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4.3.2

Зададим аргумент в $arccsc (\sqrt{x})$ меньшим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.3.3

Найдем область определения $\sqrt{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4.3.3.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4.3.3.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.3.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.3.3.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Этап 4.3.3.5.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.3.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 4.3.3.5.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Этап 4.3.3.5.2.3

Левая часть $0.70710678$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.3.5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.3.5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Этап 4.3.3.5.3.3

Левая часть $2$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.3.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

Этап 4.3.3.6

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 4.3.4

Зададим аргумент в $arccsc (\sqrt{x})$ большим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x} \geq 1$

Этап 4.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2.2.1.2

Упростим.

$x \geq 1^{2}$

Этап 4.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$x \geq 1$

Этап 4.3.5.3

Найдем область определения $\sqrt{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4.3.5.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4.3.5.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 1$

Этап 4.3.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ , то $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ не является функцией, обратной к $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Обратная не существует

Этап 5