Тригонометрия Примеры

${\cos (\frac{150}{400})}^{a}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$a = {\cos (\frac{150}{400})}^{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$ .

${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y}) = \ln (a)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (\cos (\frac{150}{400})) = \ln (a)$

Этап 2.3.2

Сократим выражение $\frac{150}{400}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$y \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400})) = \ln (a)$

Этап 2.3.2.2

Вынесем множитель $50$ из $400$ .

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Этап 2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Этап 2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y \ln (\cos (\frac{3}{8})) = \ln (a)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем значение $\cos (\frac{3}{8})$ .

$y \ln (0.93050762) = \ln (a)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ на $\ln (0.93050762)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ на $\ln (0.93050762)$ .

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (0.93050762)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ обратной к $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (a)) = a$ и $f (f^{- 1} (a)) = a$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (a))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ , вынося $a$ из логарифма.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{150}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $150$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $50$ из $400$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{3}{8}))}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.5

Найдем значение $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $\ln (0.93050762)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Этап 4.2.6.2

Разделим $a$ на $1$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = a$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (a))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{150}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $150$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 (3)}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $50$ из $400$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{3}{8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Этап 4.3.5

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\log_{0.93050762} (a)}$

Этап 4.3.6

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = a$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (a)) = a$ и $f (f^{- 1} (a)) = a$ , то $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ — обратная к $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ .

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$