Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Этап 2.4.3

Вычтем $x \sin (y)$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Этап 2.4.4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Подставим $u$ вместо $\sin (y)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Этап 2.4.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Этап 2.4.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.4.4

Подставим значения $a = - 2$ , $b = - x$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.5.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5.1.4

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.5.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5.1.4.2

Умножим $8$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Этап 2.4.4.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.6.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.6.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.6.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.6.1.4

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.6.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.6.1.4.2

Умножим $8$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Этап 2.4.4.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.7.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.7.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.7.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.7.1.4

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.7.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.7.1.4.2

Умножим $8$ на $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.4.4.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Этап 2.4.4.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.9

Подставим $\sin (y)$ вместо $u$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2.4.4.11

Решим относительно $y$ в $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.11.2.1

Упростим $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.11.2.1.1

Разобьем дробь $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ на две дроби.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Этап 2.4.4.11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.11.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.12

Решим относительно $y$ в $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.12.2.1

Упростим $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.12.2.1.1

Разобьем дробь $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ на две дроби.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Этап 2.4.4.12.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Этап 2.4.4.12.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.12.2.1.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.12.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.12.2.1.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ на $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.12.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 2.4.4.13

Перечислим все решения.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ обратной к $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ и $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Этап 4.3

Find the domain of the inverse.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем область определения $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 8}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Этап 4.3.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 8$

Этап 4.3.1.2.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 4.3.1.3

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Этап 4.3.1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Этап 4.3.1.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Этап 4.3.1.4.3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1

Упростим ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Умножим ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Упростим.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1

Упростим ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Перепишем ${(- 4 + x)}^{2}$ в виде $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Развернем $(- 4 + x) (- 4 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.4.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Этап 4.3.1.4.3.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Этап 4.3.1.4.3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Этап 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Добавим $16 - 8 x$ и $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Этап 4.3.1.4.3.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Этап 4.3.1.4.3.4.3.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Этап 4.3.1.4.3.4.4

Разделим каждый член $- 8 x \leq - 8$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.4.1

Разделим каждый член $- 8 x \leq - 8$ на $- 8$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.1.4.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.1.4.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Разделим $- 8$ на $- 8$ .

$x \geq 1$

Этап 4.3.1.4.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1$

Этап 4.3.1.5

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Этап 4.3.1.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.1.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.2.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Этап 4.3.1.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Этап 4.3.1.6.3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1

Упростим ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Умножим ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Упростим.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1

Упростим ${(4 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Перепишем ${(4 + x)}^{2}$ в виде $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Развернем $(4 + x) (4 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.6.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Этап 4.3.1.6.3.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Этап 4.3.1.6.3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Этап 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Добавим $16 + 8 x$ и $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Этап 4.3.1.6.3.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$8 x \geq 8 - 16$

Этап 4.3.1.6.3.4.3.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$8 x \geq - 8$

Этап 4.3.1.6.3.4.4

Разделим каждый член $8 x \geq - 8$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.4.1

Разделим каждый член $8 x \geq - 8$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.1.6.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.1.6.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Разделим $- 8$ на $8$ .

$x \geq - 1$

Этап 4.3.1.6.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$x > - 1$

Этап 4.3.1.6.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.5.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.3.1.6.5.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Этап 4.3.1.6.5.1.3

Левая часть $- 0.22474487$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.1.6.5.2

Проверим значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.5.2.1

Выберем значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.1.6.5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Этап 4.3.1.6.5.2.3

Левая часть $- 0.70710678$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.1.6.5.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Истина

$x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Истина

Этап 4.3.1.6.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq - 1$

Этап 4.3.1.6.7

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 4.3.1.7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.3.2

Найдем область определения $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

$x^{2} + 8 \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 8$

Этап 4.3.2.2.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 4.3.2.3

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Этап 4.3.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Этап 4.3.2.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Этап 4.3.2.4.3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1

Упростим ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Перепишем ${(- 4 + x)}^{2}$ в виде $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Развернем $(- 4 + x) (- 4 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Этап 4.3.2.4.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Этап 4.3.2.4.3.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Этап 4.3.2.4.3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Этап 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Добавим $16 - 8 x$ и $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Этап 4.3.2.4.3.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Этап 4.3.2.4.3.4.3.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Этап 4.3.2.4.3.4.4

Разделим каждый член $- 8 x \leq - 8$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.4.1

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.2.4.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Этап 4.3.2.4.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Разделим $- 8$ на $- 8$ .

$x \geq 1$

Этап 4.3.2.4.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.2.4.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.5.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.2.4.5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Этап 4.3.2.4.5.1.3

Левая часть $0.70710678$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.2.4.5.2

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.5.2.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.2.4.5.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Этап 4.3.2.4.5.2.3

Левая часть $0.22474487$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.2.4.5.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

$x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

Этап 4.3.2.4.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1$ или $x \geq 1$

Этап 4.3.2.4.7

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 4.3.2.5

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Этап 4.3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Этап 4.3.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Этап 4.3.2.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Этап 4.3.2.6.3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1

Упростим ${(4 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Перепишем ${(4 + x)}^{2}$ в виде $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Развернем $(4 + x) (4 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Этап 4.3.2.6.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Этап 4.3.2.6.3.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Этап 4.3.2.6.3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Этап 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Добавим $16 + 8 x$ и $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Этап 4.3.2.6.3.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$8 x \geq 8 - 16$

Этап 4.3.2.6.3.4.3.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$8 x \geq - 8$

Этап 4.3.2.6.3.4.4

Разделим каждый член $8 x \geq - 8$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.4.1

Разделим каждый член $8 x \geq - 8$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.2.6.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Этап 4.3.2.6.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Разделим $- 8$ на $8$ .

$x \geq - 1$

Этап 4.3.2.7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 4.3.3

Найдем объединение $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Обратная не существует

Этап 5