Тригонометрия Примеры

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$ .

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.3

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.4

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Этап 2.1.1.5

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \sec (y) = x$

Этап 2.1.2

Добавим $\sec (y)$ и $\sec (y)$ .

$2 \sec (y) = x$

Этап 3

Разделим каждый член $2 \sec (y) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \sec (y) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sec (y)$ на $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{2}$

Этап 4

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y = arcsec (\frac{x}{2})$

Этап 5

Поменяем переменные местами.

$x = arcsec (\frac{y}{2})$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $arcsec (\frac{y}{2}) = x$ .

$arcsec (\frac{y}{2}) = x$

Этап 6.2

Применим обратный арксеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака арксеканса.

$\frac{y}{2} = \sec (x)$

Этап 6.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Этап 6.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Этап 6.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sec (x)$

Этап 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

Этап 8

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ обратной к $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 8.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 \sec (arcsec (\frac{x}{2}))$

Этап 8.2.3

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 8.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = x$

Этап 8.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 8.3.2

Найдем значение $f (2 \sec (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Этап 8.3.3.2

Разделим $\sec (x)$ на $1$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Этап 8.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ — обратная к $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$