Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $1 + \cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Так как $\cot (- y)$ — нечетная функция, перепишем $\cot (- y)$ в виде $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3.1.1.2.2

Умножим $- - \cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3.1.1.2.2.2

Умножим $\cot (y)$ на $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $x (1 + \cot (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим $u$ вместо $\cot (y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Этап 2.4.2

Вычтем $x u$ из обеих частей уравнения.

$1 + u - x u = x$

Этап 2.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u - x u = x - 1$

Этап 2.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u - x u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Этап 2.4.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Этап 2.4.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Этап 2.4.5

Разделим каждый член $u (1 - x) = x - 1$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Разделим каждый член $u (1 - x) = x - 1$ на $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.4.5.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Этап 2.4.5.3.2

Сократим общий множитель $x - 1$ и $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Этап 2.4.5.3.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Этап 2.4.5.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Этап 2.4.5.3.2.4

Изменим порядок членов.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 2.4.5.3.2.5

Сократим общий множитель.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 2.4.5.3.2.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$u = - 1$

Этап 2.4.6

Подставим $\cot (y)$ вместо $u$ .

$\cot (y) = - 1$

Этап 2.4.7

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из котангенса.

$y = arccot (- 1)$

Этап 2.4.8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 2.4.10

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 2.4.10.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$y = \frac{7 π}{4}$

Этап 2.4.11

Найдем период $\cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.4.11.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.4.11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.4.11.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.4.12

Период функции $\cot (y)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Объединим ответы.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ обратной к $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Этап 4.2.3

Изменим порядок $\frac{3 π}{4}$ и $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ — обратная к $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$