Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, x$

Этап 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot x$

Этап 2.9

Умножим $y$ на $x$ .

$y x$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ на $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $y x$ на $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Этап 3.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x = y x - y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

Этап 4.2

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = x$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Этап 4.3

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Этап 5

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим уравнение на $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $(y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Этап 6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - x = y$

Этап 6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - x - y = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = x$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = x$

Этап 6.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Этап 6.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Этап 6.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 6.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 6.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Этап 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Этап 8

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 8.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Этап 8.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Этап 8.2.4.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Этап 8.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 8.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 8.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Этап 8.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 8.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Этап 8.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Этап 8.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Этап 8.3.4.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Этап 8.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Этап 8.3.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 8.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 8.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Этап 8.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$