Тригонометрия Примеры

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}) = - 7 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{4^{2} - y^{2}}) = - 7 x$

Этап 2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = y$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) = - 7 x$

Этап 2.3.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Объединим $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ и $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}) = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}$ в числитель.

$- 7 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.2.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$7 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Этап 2.3.1.3.3.2

Умножим $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ на $1$ .

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Этап 2.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ в виде ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((4 + y) (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Развернем $(4 + y) (4 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 (4 - y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

${(16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.1.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

${(16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.2

Добавим $- 4 y$ и $4 y$ .

${(16 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3.3

Добавим $16$ и $0$ .

${(16 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.4

Упростим.

$16 - y^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим ${(- 7 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Применим правило умножения к $- 7 x$ .

$16 - y^{2} = {(- 7)}^{2} x^{2}$

Этап 2.5.3.1.2

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$16 - y^{2} = 49 x^{2}$

Этап 2.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = 49 x^{2} - 16$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{49 x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (49 x^{2})$ в виде $- (49 x^{2})$ .

$y^{2} = - (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Умножим $49$ на $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + 16$

Этап 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$

Этап 2.6.4

Упростим $\pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 4^{2}}$

Этап 2.6.4.1.2

Перепишем $49 x^{2}$ в виде ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(7 x)}^{2} + 4^{2}}$

Этап 2.6.4.1.3

Изменим порядок $- {(7 x)}^{2}$ и $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(7 x)}^{2}}$

Этап 2.6.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 7 x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - (7 x))}$

Этап 2.6.4.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Этап 2.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Этап 2.6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Этап 2.6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ обратной к $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{4}{7}, 0]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 + 7 x = 0$

$4 - 7 x = 0$

Этап 4.3.2.2

Приравняем $4 + 7 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Приравняем $4 + 7 x$ к $0$ .

$4 + 7 x = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Решим $4 + 7 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 4$

Этап 4.3.2.2.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 4$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Этап 4.3.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Этап 4.3.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{7}$

Этап 4.3.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{7}$

Этап 4.3.2.3

Приравняем $4 - 7 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Приравняем $4 - 7 x$ к $0$ .

$4 - 7 x = 0$

Этап 4.3.2.3.2

Решим $4 - 7 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 4$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 4$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 4$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Этап 4.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 7}$

Этап 4.3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{4}{7}$

Этап 4.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$ верно.

$x = - \frac{4}{7}, \frac{4}{7}$

Этап 4.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{4}{7}$

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$

$x > \frac{4}{7}$

Этап 4.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 4.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(4 + 7 (- 3)) (4 - 7 \cdot - 3) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.1.3

Левая часть $- 425$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(4 + 7 (0)) (4 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.2.3

Левая часть $16$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(4 + 7 (3)) (4 - 7 \cdot 3) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.3.3

Левая часть $- 425$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{4}{7}$ Ложь

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Истина

$x > \frac{4}{7}$ Ложь

$x < - \frac{4}{7}$ Ложь

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Истина

$x > \frac{4}{7}$ Ложь

Этап 4.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{4}{7} \leq x \leq \frac{4}{7}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{4}{7}, \frac{4}{7}]$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ не является функцией, обратной к $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Обратная не существует

Этап 5