Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \tan (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{1 - \tan (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ .

$\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1 - \tan (y), 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$1 - \tan (y), 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$1 - \tan (y)$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ умножим на $1 - \tan (y)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ на $1 - \tan (y)$ .

$\frac{1}{1 - \tan (y)} (1 - \tan (y)) = x (1 - \tan (y))$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - \tan (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - \tan (y)} (1 - \tan (y)) = x (1 - \tan (y))$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (1 - \tan (y))$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x \cdot 1 + x (- \tan (y))$

Этап 2.3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = x + x (- \tan (y))$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = x - x \tan (y)$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x - x \tan (y) = 1$ .

$x - x \tan (y) = 1$

Этап 2.4.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x \tan (y) = 1 - x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $- x \tan (y) = 1 - x$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $- x \tan (y) = 1 - x$ на $- x$ .

$\frac{- x \tan (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x \tan (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \tan (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.2.2.2

Разделим $\tan (y)$ на $1$ .

$\tan (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\tan (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.3.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 2.4.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 2.4.3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 2.4.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Этап 2.5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$ обратной к $f (x) = \frac{1}{1 - \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \tan (x)}} + 1)$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- (1 (1 - \tan (x))) + 1)$

Этап 4.2.3.2

Умножим $1 - \tan (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- (1 - \tan (x)) + 1)$

Этап 4.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 \cdot 1 + \tan (x) + 1)$

Этап 4.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + \tan (x) + 1)$

Этап 4.2.3.5

Умножим $- - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + 1 \tan (x) + 1)$

Этап 4.2.3.5.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + \tan (x) + 1)$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $- 1 + \tan (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Этап 4.2.4.2

Добавим $0$ и $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \tan (\arctan (- \frac{1}{x} + 1))}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Этап 4.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.3

Умножим $- - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Этап 4.3.3.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Этап 4.3.3.6

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Этап 4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{1 - \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$