Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{16} x^{2} - 49$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{16} y^{2} - 49$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{16} y^{2} - 49 = x$ .

$\frac{1}{16} y^{2} - 49 = x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{16}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - 49 = x$

Этап 2.3

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{16} = x + 49$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $16$ .

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (x + 49)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (x + 49)$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 16 (x + 49)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $16 (x + 49)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 16 x + 16 \cdot 49$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $16$ на $49$ .

$y^{2} = 16 x + 784$

Этап 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 x + 784}$

Этап 2.7

Упростим $\pm \sqrt{16 x + 784}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x + 784$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x$ .

$y = \pm \sqrt{16 (x) + 784}$

Этап 2.7.1.2

Вынесем множитель $16$ из $784$ .

$y = \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 49}$

Этап 2.7.1.3

Вынесем множитель $16$ из $16 x + 16 \cdot 49$ .

$y = \pm \sqrt{16 (x + 49)}$

Этап 2.7.2

Перепишем $16 (x + 49)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (x + 49)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} (x + 49)}$

Этап 2.7.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 49)}$

Этап 2.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm 2^{2} \sqrt{x + 49}$

Этап 2.7.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \pm 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 2.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 2.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ и $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 49, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $4 \sqrt{x + 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 49}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 49 \geq 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $49$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 49$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 49, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ , то $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$

Этап 5