Тригонометрия Примеры

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2

Упростим $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $\frac{3 y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{3 y^{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{y^{2} (1 + 12)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$\frac{y^{2} \cdot 13}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.2.4.2

Перенесем $13$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Этап 2.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} - x = 0$

Этап 2.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $8$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$13 y^{2} + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$13 y^{2} + 2 (4) (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$13 y^{2} + 2 \cdot (4 (\frac{9 y}{2})) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$13 y^{2} + 4 (9 y) + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $9$ на $4$ .

$13 y^{2} + 36 y + 8 (- x) = 0$

Этап 2.4.2.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$13 y^{2} + 36 y - 8 x = 0$

Этап 2.4.3

Перенесем $36 y$ .

$13 y^{2} - 8 x + 36 y = 0$

Этап 2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6

Подставим значения $a = 13$ , $b = 36$ и $c = - 8 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (13 \cdot (- 8 x))}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $36$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 52$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.3

Вынесем множитель $16$ из $1296 + 416 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $16 (81 + 26 x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $36$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 52$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.3

Вынесем множитель $16$ из $1296 + 416 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $16 (81 + 26 x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.8.5

Вынесем множитель $2$ из $- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$y = \frac{2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.8.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Этап 2.8.6

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Этап 2.8.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Этап 2.8.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{81 + 26 x})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (9 - \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Этап 2.8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Этап 2.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Возведем $36$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.2.2

Умножим $- 52$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.3

Вынесем множитель $16$ из $1296 + 416 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.4

Перепишем $16 (81 + 26 x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Этап 2.9.2

Умножим $2$ на $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Этап 2.9.3

Упростим $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Этап 2.9.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Изменим порядок $81$ и $26 x$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Этап 2.9.5.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 18$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Этап 2.9.5.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \sqrt{26 x + 81}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Этап 2.9.5.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (9) - 2 (\sqrt{26 x + 81})$ .

$y = \frac{- 2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Этап 2.9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Этап 2.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $- \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{81 + 26 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$81 + 26 x \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $81$ из обеих частей неравенства.

$26 x \geq - 81$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $26 x \geq - 81$ на $26$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $26 x \geq - 81$ на $26$ .

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 81}{26}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{81}{26}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Этап 5