Тригонометрия Примеры

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$ .

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$

Этап 2.2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$x \cdot (1 + \cos (6 y)) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $x \cdot (1 + \cos (6 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 1 + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Этап 2.3

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$ .

$- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$

Этап 2.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{1 - \cos (6 y)})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - \cos (6 y)}$ в виде ${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим ${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - \cos (6 y))}^{1} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.2.1.5

Упростим.

$1 - \cos (6 y) = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ в виде $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ .

$1 - \cos (6 y) = (x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.2

Развернем $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \cos (6 y) = x (x + x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) \cos (6 y)$

Этап 2.5.3.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$

Этап 2.5.3.1.3.1.5

Умножим $x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1.5.1

Возведем $\cos (6 y)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.5.2

Возведем $\cos (6 y)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos^{1} (6 y))$

Этап 2.5.3.1.3.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} {\cos (6 y)}^{1 + 1}$

Этап 2.5.3.1.3.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Этап 2.5.3.1.3.2

Добавим $x^{2} \cos (6 y)$ и $x^{2} \cos (6 y)$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + 2 x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Этап 2.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Подставим $u$ вместо $\cos (6 y)$ .

$1 - (u) = x^{2} + 2 x^{2} (u) + x^{2} {(u)}^{2}$

Этап 2.6.2

Поскольку $u$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} = 1 - u$

Этап 2.6.3

Добавим $u$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u = 1$

Этап 2.6.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u - 1 = 0$

Этап 2.6.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.6

Подставим значения $a = x^{2}$ , $b = 2 x^{2} + 1$ и $c = x^{2} - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (x^{2} - 1))}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.4

Перепишем ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.5

Развернем $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.6.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.5

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.6.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.8.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.10

Вычтем $4 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.11

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.7.12

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.7

Перепишем $- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.4

Перепишем ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.5

Развернем $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.6.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.5

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.6.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.8.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.10

Вычтем $4 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.11

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.1.12

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.8

Перепишем $- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.9.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.11

Подставим $\cos (6 y)$ вместо $u$ .

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}, - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $y$ .

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 2.6.13

Решим относительно $y$ в $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1

Упростим $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ на две дроби.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ на две дроби.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.13.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.13.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.13.2.1.4.2

Умножим $- - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + 1 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.13.2.1.4.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ на $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.13.3

Разделим каждый член $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.3.1

Разделим каждый член $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.13.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.13.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.13.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.14

Решим относительно $y$ в $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1

Упростим $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ на две дроби.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ на две дроби.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Этап 2.6.14.2.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.14.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Этап 2.6.14.3

Разделим каждый член $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.3.1

Разделим каждый член $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.14.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.14.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.14.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 2.6.15

Перечислим все решения.

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ обратной к $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем область определения $\frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$8 x^{2} + 1 \geq 0$

Этап 4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$8 x^{2} \geq - 1$

Этап 4.2.2.2

Разделим каждый член $8 x^{2} \geq - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Разделим каждый член $8 x^{2} \geq - 1$ на $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} \geq - \frac{1}{8}$

Этап 4.2.2.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 4.2.3

Зададим аргумент в $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1$

Этап 4.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Решим относительно $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Перенесем все члены без $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1$

Этап 4.2.4.1.1.2

Добавим $\frac{1}{2 x^{2}}$ к обеим частям неравенства.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 4.2.4.1.1.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq 0 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 4.2.4.1.1.4

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 4.2.4.1.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \geq 1$

Этап 4.2.4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ в виде ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1

Упростим ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3.2.1.2

Упростим.

$8 x^{2} + 1 \geq 1^{2}$

Этап 4.2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$8 x^{2} + 1 \geq 1$

Этап 4.2.4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$8 x^{2} \geq 1 - 1$

Этап 4.2.4.4.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$8 x^{2} \geq 0$

Этап 4.2.4.4.2

Разделим каждый член $8 x^{2} \geq 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.2.1

Разделим каждый член $8 x^{2} \geq 0$ на $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Этап 4.2.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Этап 4.2.4.4.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{0}{8}$

Этап 4.2.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.2.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$x^{2} \geq 0$

Этап 4.2.4.4.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 4.2.5

Зададим аргумент в $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Решим относительно $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Перенесем все члены без $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1$

Этап 4.2.6.1.1.2

Добавим $\frac{1}{2 x^{2}}$ к обеим частям неравенства.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 4.2.6.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 2 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 4.2.6.1.2

Умножим обе части на $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2}) \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.1.1

Упростим $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 (x^{2})} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.1.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1

Упростим $(2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 2 (2 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2}$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 4.2.6.1.3.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 1$

Этап 4.2.6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ в виде ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.2.1

Упростим ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3.2.1.2

Упростим.

$8 x^{2} + 1 \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1

Упростим ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1.1

Перепишем ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ .

$8 x^{2} + 1 \leq (4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$

Этап 4.2.6.3.3.1.2

Развернем $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)$

Этап 4.2.6.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)$

Этап 4.2.6.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.5

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1$

Этап 4.2.6.3.3.1.3.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 8 x^{2} + 1$

Этап 4.2.6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 \geq 8 x^{2} + 1$

Этап 4.2.6.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.2.1

Вычтем $8 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2} \geq 1$

Этап 4.2.6.4.2.2

Объединим противоположные члены в $16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.2.2.1

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$16 x^{4} + 0 + 1 \geq 1$

Этап 4.2.6.4.2.2.2

Добавим $16 x^{4}$ и $0$ .

$16 x^{4} + 1 \geq 1$

Этап 4.2.6.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$16 x^{4} \geq 1 - 1$

Этап 4.2.6.4.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$16 x^{4} \geq 0$

Этап 4.2.6.4.4

Разделим каждый член $16 x^{4} \geq 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.4.1

Разделим каждый член $16 x^{4} \geq 0$ на $16$ .

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Этап 4.2.6.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.4.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Этап 4.2.6.4.4.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{16}$

Этап 4.2.6.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.4.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$x^{4} \geq 0$

Этап 4.2.6.4.5

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 4.2.7

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} = 0$

Этап 4.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.8.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.2.8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.8.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.8.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 4.3

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ не является функцией, обратной к $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ .

Обратная не существует

Этап 5