Тригонометрия Примеры

$45^{y}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Этап 3

Развернем $\ln (45^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Этап 4

Разделим каждый член $y \ln (45) = \ln (x)$ на $\ln (45)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $y \ln (45) = \ln (x)$ на $\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Этап 5

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $\ln (45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Изменим порядок множителей в $\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Этап 6.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Этап 6.5

Перепишем $\ln (y) = x \ln (45)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Этап 6.6

Перепишем уравнение в виде $y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Этап 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Этап 8

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ обратной к $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 8.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $\ln (45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Этап 8.2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Этап 8.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 8.3.2

Найдем значение $f (e^{x \ln (45)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Этап 8.3.3

Развернем $\ln (e^{x \ln (45)})$ , вынося $x \ln (45)$ из логарифма.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $\ln (45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Этап 8.3.4.2

Разделим $x \ln (e)$ на $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Этап 8.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Этап 8.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Этап 8.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ — обратная к $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$