Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$ .

$\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{\tan (y)}{\sec (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Этап 2.2.1.2

Выразим $\tan (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Этап 2.2.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y) = x$

Этап 2.2.1.4

Запишем $\cos (y)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Этап 2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = x$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (x)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ обратной к $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$

Этап 4.2.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Этап 4.2.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Этап 4.2.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \cos (x))$

Этап 4.2.6

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Этап 4.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arcsin (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\sec (\arcsin (x))}$

Этап 4.3.3

Выразим $\sec (\arcsin (x))$ через синусы и косинусы.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Этап 4.3.4

Выразим $\tan (\arcsin (x))$ через синусы и косинусы.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))}}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Этап 4.3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \cos (\arcsin (x))$

Этап 4.3.6

Запишем $\cos (\arcsin (x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $\cos (\arcsin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (x)) = \sin (\arcsin (x))$

Этап 4.3.8

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\arcsin (x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ — обратная к $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$