Тригонометрия Примеры

$\sqrt{w^{11}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$w = \sqrt{y^{11}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y^{11}} = w$ .

$\sqrt{y^{11}} = w$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{11}}}^{2} = w^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{11}}$ в виде $y^{\frac{11}{2}}$ .

${(y^{\frac{11}{2}})}^{2} = w^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{11}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{11} = w^{2}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[11]{w^{2}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ обратной к $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (w)) = w$ и $f (f^{- 1} (w)) = w$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (w))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (w))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{w^{11}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(\sqrt{w^{11}})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Перепишем $w^{11}$ в виде ${(w^{5})}^{2} w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем $w^{10}$ за скобки.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{w^{10} w}}^{2}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $w^{10}$ в виде ${(w^{5})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{{(w^{5})}^{2} w}}^{2}}$

Этап 4.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5} \sqrt{w})}^{2}}$

Этап 4.2.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Применим правило умножения к $w^{5} \sqrt{w}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5})}^{2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Этап 4.2.5.2

Перемножим экспоненты в ${(w^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{5 \cdot 2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Этап 4.2.5.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {\sqrt{w}}^{2}}$

Этап 4.2.6

Перепишем ${\sqrt{w}}^{2}$ в виде $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Этап 4.2.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Этап 4.2.7

Умножим $w^{10}$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Умножим $w^{10}$ на $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Этап 4.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10 + 1}}$

Этап 4.2.7.2

Добавим $10$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{11}}$

Этап 4.2.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = w$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (w))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (w))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[11]{w^{2}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(\sqrt[11]{w^{2}})}^{11}}$

Этап 4.3.3

Перепишем ${\sqrt[11]{w^{2}}}^{11}$ в виде $w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{w^{2}}$ в виде $w^{\frac{2}{11}}$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(w^{\frac{2}{11}})}^{11}}$

Этап 4.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{11} \cdot 11}}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $\frac{2}{11}$ и $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2 \cdot 11}{11}}}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $2$ на $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{22}{11}}}$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $22$ и $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Вынесем множитель $11$ из $22$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11}}}$

Этап 4.3.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 (1)}}}$

Этап 4.3.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 \cdot 1}}}$

Этап 4.3.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{1}}}$

Этап 4.3.3.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = w$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (w)) = w$ и $f (f^{- 1} (w)) = w$ , то $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ — обратная к $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ .

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$