Тригонометрия Примеры

$2 x^{2} + 18 x + 40$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} + 18 y + 40$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} + 18 y + 40 = x$ .

$2 y^{2} + 18 y + 40 = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} + 18 y + 40 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 18$ и $c = 40 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (40 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 2 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $- 8$ на $40$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.6

Вычтем $320$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8

Перепишем $4 (1 + 2 x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 2 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $- 8$ на $40$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.6

Вычтем $320$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8

Перепишем $4 (1 + 2 x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 9 + \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.6.5

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{1 + 2 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{1 + 2 x})}{2}$

Этап 2.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{1 + 2 x})$ .

$y = \frac{- 1 (9 - \sqrt{1 + 2 x})}{2}$

Этап 2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 2 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot (40 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 8 \cdot 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $- 8$ на $40$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем $320$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8

Перепишем $4 (1 + 2 x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{1 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

Этап 2.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 - \sqrt{1 + 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Изменим порядок $1$ и $2 x$ .

$y = \frac{- 9 - \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 2.7.5.2

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 2.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 x + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - (\sqrt{2 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - (\sqrt{2 x + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (9 + \sqrt{2 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.5.5

Перепишем $- 1 (9 + \sqrt{2 x + 1})$ в виде $- (9 + \sqrt{2 x + 1})$ .

$y = \frac{- (9 + \sqrt{2 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $- \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + 2 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + 2 x \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 1$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} + 18 x + 40$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{1 + 2 x}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{2 x + 1}}{2}$

Этап 5