Тригонометрия Примеры

$10 \cos (2 x) + 10$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 10 \cos (2 y) + 10$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $10 \cos (2 y) + 10 = x$ .

$10 \cos (2 y) + 10 = x$

Этап 2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$10 \cos (2 y) = x - 10$

Этап 2.3

Разделим каждый член $10 \cos (2 y) = x - 10$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $10 \cos (2 y) = x - 10$ на $10$ .

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\cos (2 y)$ на $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 10$ на $10$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} - 1$

Этап 2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ обратной к $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 \cos (2 x) + 10}{10} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $10 \cos (2 x) + 10$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10}{10} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.2

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10 \cdot 1}{10} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (\cos (2 x)) + 10 (1)$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 (1)} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 \cdot 1} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{\cos (2 x) + 1}{1} - 1)}{2}$

Этап 4.2.3.4.4

Разделим $\cos (2 x) + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 1 - 1)}{2}$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $\cos (2 x) + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 0)}{2}$

Этап 4.2.4.2

Добавим $\cos (2 x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})) + 10$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10})}{2})) + 10$

Этап 4.3.3.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (\arccos (\frac{x - 10}{10})) + 10$

Этап 4.3.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Этап 4.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x - 10 + 10$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ — обратная к $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$