Тригонометрия Примеры

$1 - \sec^{2} (x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $1 - \sec^{2} (y) = x$ .

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- \sec^{2} (y) = x - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- \sec^{2} (y) = x - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $\sec^{2} (y)$ на $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Этап 2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Этап 2.7

Решим относительно $y$ в $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Этап 2.8

Решим относительно $y$ в $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Этап 2.9

Перечислим все решения.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ обратной к $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ и $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[2, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.3

Зададим аргумент в $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ меньшим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Этап 4.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x + 1}$ в виде ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Упростим ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2.2.1.2

Упростим.

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Этап 4.3.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \leq 1 - 1$

Этап 4.3.4.3.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- x \leq 0$

Этап 4.3.4.3.2

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.4.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \geq 0$

Этап 4.3.4.4

Найдем область определения $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.4.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.4.4.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.2.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.4.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.3.4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.4.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.3.4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Этап 4.3.4.6.1.3

Левая часть $1.7320508$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.4.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 4.3.4.6.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Этап 4.3.4.6.2.3

Левая часть $0.70710678$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.4.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.4.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Этап 4.3.4.6.3.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.4.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

Этап 4.3.4.7

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 4.3.5

Зададим аргумент в $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ большим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Этап 4.3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x + 1}$ в виде ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1

Упростим ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2.2.1.2

Упростим.

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Этап 4.3.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- x + 1 \geq 1$

Этап 4.3.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq 1 - 1$

Этап 4.3.6.3.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- x \geq 0$

Этап 4.3.6.3.2

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.1

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.6.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 4.3.6.4

Найдем область определения $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.6.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.6.4.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.2.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.6.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.3.6.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$

Этап 4.3.7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ , то $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ не является функцией, обратной к $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Обратная не существует

Этап 5