Тригонометрия Примеры

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = x^{2} + 4 x - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $4 (- x + 2) (x + 6)$ в виде $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- x + 2) (x + 6)$ в виде $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- x + 2) (x + 6)$ в виде $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Этап 7

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = 3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}, x = 3 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$ .

$3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x - 3$

Этап 8.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$ в виде ${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((- y + 2) (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Развернем $(- y + 2) (y + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(- y (y + 6) + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1.1.1

Перенесем $y$ .

${(- (y \cdot y) - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

${(- y^{2} - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.2

Добавим $- 6 y$ и $2 y$ .

${(- y^{2} - 4 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.4

Упростим.

$- y^{2} - 4 y + 12 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 8.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = (x - 3) (x - 3)$

Этап 8.4.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 8.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 8.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 8.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 8.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 8.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 8.4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 8.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} = - 6 x + 9$

Этап 8.5.1.1.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x = 9$

Этап 8.5.1.1.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Этап 8.5.1.2

Вычтем $9$ из $12$ .

$- y^{2} - 4 y - x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Этап 8.5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.5.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 4$ и $c = - x^{2} + 6 x + 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1.2.1

Изменим порядок $- 4$ и $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.2.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.2.4

Перепишем $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ в виде $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.4

Разложим на множители.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.6

Перепишем $4 (- x - 1) (x - 7)$ в виде $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.6.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Этап 8.5.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Этап 8.5.4.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.4.5

Перепишем $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ в виде $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1.2.1

Изменим порядок $- 4$ и $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.2.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.2.4

Перепишем $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ в виде $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.4

Разложим на множители.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.6

Перепишем $4 (- x - 1) (x - 7)$ в виде $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.6.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Этап 8.5.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Этап 8.5.5.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.5.5

Перепишем $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ в виде $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.5.6

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.5.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1.2.1

Изменим порядок $- 4$ и $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.2.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.2.4

Перепишем $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ в виде $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.4

Разложим на множители.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.6

Перепишем $4 (- x - 1) (x - 7)$ в виде $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.6.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Этап 8.5.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Этап 8.5.6.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.6.5

Перепишем $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ в виде $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.6.6

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Этап 8.5.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.6.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.6.9

Умножим $- - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.6.9.2

Умножим $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ на $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 8.5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 9

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Этап 10

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ обратной к $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ и $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ и сравним их.

Этап 10.2

Найдем множество значений $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем множество значений $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[3, 7]$

Этап 10.2.2

Найдем множество значений $3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Интервальное представление:

$[- 1, 3]$

Этап 10.2.3

Найдем объединение $[3, 7], [- 1, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$[- 1, 7]$

Этап 10.3

Найдем область определения $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(- x - 1) (x - 7) \geq 0$

Этап 10.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 10.3.2.2

Приравняем $- x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Приравняем $- x - 1$ к $0$ .

$- x - 1 = 0$

Этап 10.3.2.2.2

Решим $- x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x = 1$

Этап 10.3.2.2.2.2

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.3.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.3.2.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.3.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 10.3.2.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 10.3.2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 10.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x - 1) (x - 7) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 7$

Этап 10.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 7$

$x > 7$

Этап 10.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(- (- 4) - 1) ((- 4) - 7) \geq 0$

Этап 10.3.2.6.1.3

Левая часть $- 33$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(- (0) - 1) ((0) - 7) \geq 0$

Этап 10.3.2.6.2.3

Левая часть $7$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 10.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(- (10) - 1) ((10) - 7) \geq 0$

Этап 10.3.2.6.3.3

Левая часть $- 33$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 10.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 7$

Этап 10.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 7]$

Этап 10.4

Найдем область определения $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(- x + 2) (x + 6) \geq 0$

Этап 10.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 10.4.2.2

Приравняем $- x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Приравняем $- x + 2$ к $0$ .

$- x + 2 = 0$

Этап 10.4.2.2.2

Решим $- x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 10.4.2.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 10.4.2.3

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.3.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 10.4.2.3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 10.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x + 2) (x + 6) \geq 0$ верно.

$x = 2, - 6$

Этап 10.4.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 2$

$x > 2$

Этап 10.4.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.4.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$(- (- 8) + 2) ((- 8) + 6) \geq 0$

Этап 10.4.2.6.1.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.4.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(- (0) + 2) ((0) + 6) \geq 0$

Этап 10.4.2.6.2.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.4.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(- (4) + 2) ((4) + 6) \geq 0$

Этап 10.4.2.6.3.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 10.4.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 \leq x \leq 2$

Этап 10.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 6, 2]$

Этап 10.5

Найдем множество значений $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Интервальное представление:

$[- 2, - 2]$

Этап 10.6

Так как множество значений $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ не совпадает с областью определения $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ , то $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ не является обратной к $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Обратная не существует

Этап 11