Тригонометрия Примеры

$\frac{x}{8 x - 9}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{8 y - 9}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим уравнение на $8 y - 9$ .

$(8 y - 9) (x) = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 y x - 9 x = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $8 y - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$8 y x - 9 x = \frac{y}{8 y - 9} (8 y - 9)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$8 y x - 9 x = y$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$8 y x - 9 x - y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $9 x$ к обеим частям уравнения.

$8 y x - y = 9 x$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $8 y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $8 y x$ .

$y (8 x) - y = 9 x$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (8 x) + y \cdot - 1 = 9 x$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (8 x) + y \cdot - 1$ .

$y (8 x - 1) = 9 x$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (8 x - 1) = 9 x$ на $8 x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (8 x - 1) = 9 x$ на $8 x - 1$ .

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $8 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (\frac{x}{8 x - 9})}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Этап 4.2.3

Объединим $9$ и $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим $8$ и $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1}$

Этап 4.2.4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1 \cdot \frac{8 x - 9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} + \frac{- (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.5

Перепишем $\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x) + 9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.5.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.5.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.5.4

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{0 + 9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.4.5.5

Добавим $0$ и $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{9}{8 x - 9}}$

Этап 4.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (x)}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Этап 4.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $8 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Этап 4.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{9 x}{8 x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 1}}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $8 \frac{9 x}{8 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим $8$ и $\frac{9 x}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x)}{8 x - 1} - 9}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $9$ на $8$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9}$

Этап 4.3.4.2

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9 \cdot \frac{8 x - 1}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.3

Объединим $- 9$ и $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} + \frac{- 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5

Перепишем $\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1

Вынесем множитель $9$ из $72 x - 9 (8 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $72 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 (8 x - 1)$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x) + 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.5

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (0 + 1)}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.5.6

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 \cdot 1}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.4.6

Умножим $9$ на $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9}{8 x - 1}}$

Этап 4.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot (1 (\frac{8 x - 1}{9}))$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{8 x - 1}{9}$ на $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 (x)}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Этап 4.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $8 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$