Тригонометрия Примеры

$\frac{x}{8 - 9 x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{8 - 9 y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$8 - 9 y, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$8 - 9 y, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$8 - 9 y$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ умножим на $8 - 9 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ на $8 - 9 y$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8 - 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = x (8 - 9 y)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot 8 + x (- 9 y)$

Этап 2.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$y = 8 \cdot x + x (- 9 y)$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 8 x - 9 x y$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $9 x y$ к обеим частям уравнения.

$y + 9 x y = 8 x$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y + 9 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + 9 x y = 8 x$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $9 x y$ .

$y \cdot 1 + y (9 x) = 8 x$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (9 x)$ .

$y (1 + 9 x) = 8 x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $y (1 + 9 x) = 8 x$ на $1 + 9 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $y (1 + 9 x) = 8 x$ на $1 + 9 x$ .

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (\frac{x}{8 - 9 x})}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Этап 4.2.3

Объединим $8$ и $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим $9$ и $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Этап 4.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x}{8 - 9 x} + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Этап 4.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Добавим $- 9 x$ и $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 + 0}{8 - 9 x}}$

Этап 4.2.4.4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8}{8 - 9 x}}$

Этап 4.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (x)}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Этап 4.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $8 - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Этап 4.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{8 x}{1 + 9 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{1 + 9 x}}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $- 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим $- 9$ и $\frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 9 (8 x)}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $8$ на $- 9$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 72 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 9 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x)}{1 + 9 x} - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.5

Перепишем $\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 (1 + 9 x) - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 72 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x - 9 x)}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.5.2

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 0)}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.4.6

Умножим $8$ на $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8}{1 + 9 x}}$

Этап 4.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot (1 (\frac{1 + 9 x}{8}))$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{1 + 9 x}{8}$ на $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 (x)}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Этап 4.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $1 + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$